Объекту, чтобы заслужить звание фрактала, достаточно иметь сложную структуру, вне зависимости от масштаба рассмотрения – вот самое понятное (но и самое дилетантское) определение данного термина. В реальном мире, мы, разумеется, не можем бесконечно увеличивать масштаб или бесконечно уменьшать единицы измерения, но все-таки испано-португальская граница является достаточно близким аналогом фрактала, к тому же очень наглядным.
Мандельброт, с упоением развивавший неизведанную область математики, называл ее «прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной». Вслед за ним потянулись и другие ученые, открывая все новые и новые виды фракталов, уже чисто математических.
Пример одного такого фрактала наверняка многие знают, он даже появлялся где-то на обложке учебника – это снежинка или кривая Коха (см. картинку). Забавно, что сам Хельге фон Кох описал данную фигуру еще в 1904 году, правда, для него это была всего лишь занимательная математическая гимнастика, не более. Ее легко построить: делим отрезок на три части, на центральной части строим равносторонний треугольник, стираем основание и повторяем действия сначала на всех получившихся новых отрезках.
Если мы возьмем и соединим концы этой кривой, то получим красивую снежинку, которую назвали снежинкой Коха *как неожиданно*. При этом, полученная фигура все еще имеет бесконечную длину! – как ни приближай ее, как ни увеличивай масштаб, вы всегда будете наблюдать сложную изрезанную границу. Совсем как с береговой линией Байкала. Кстати, этот факт является одним из крайне интересных свойств замкнутых фракталов – кривая, образующая их, имеет бесконечную длину, но при этом ограничивает точно вычисляемую конечную площадь, ведь и снежинку Коха, и озеро Байкал можно полностью уместить в круг.
Так что, если площадь поверхности Байкала можно довольно точно измерить, то длина его берегов в разных источниках будет отличаться. Подумайте над этим, если вы учитель географии, и вам приспичило помучить кого-то из учеников каверзными вопросами.
⏬ На иллюстрации из Вики показано измерение длины побережья Великобритании разными единичными отрезками (Мандельброт в статье 1967 года использовал именно этот пример) и построение кривой Коха. Любите математику.
#Грибоедов
#Архив
#Математика
Мандельброт, с упоением развивавший неизведанную область математики, называл ее «прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной». Вслед за ним потянулись и другие ученые, открывая все новые и новые виды фракталов, уже чисто математических.
Пример одного такого фрактала наверняка многие знают, он даже появлялся где-то на обложке учебника – это снежинка или кривая Коха (см. картинку). Забавно, что сам Хельге фон Кох описал данную фигуру еще в 1904 году, правда, для него это была всего лишь занимательная математическая гимнастика, не более. Ее легко построить: делим отрезок на три части, на центральной части строим равносторонний треугольник, стираем основание и повторяем действия сначала на всех получившихся новых отрезках.
Если мы возьмем и соединим концы этой кривой, то получим красивую снежинку, которую назвали снежинкой Коха *как неожиданно*. При этом, полученная фигура все еще имеет бесконечную длину! – как ни приближай ее, как ни увеличивай масштаб, вы всегда будете наблюдать сложную изрезанную границу. Совсем как с береговой линией Байкала. Кстати, этот факт является одним из крайне интересных свойств замкнутых фракталов – кривая, образующая их, имеет бесконечную длину, но при этом ограничивает точно вычисляемую конечную площадь, ведь и снежинку Коха, и озеро Байкал можно полностью уместить в круг.
Так что, если площадь поверхности Байкала можно довольно точно измерить, то длина его берегов в разных источниках будет отличаться. Подумайте над этим, если вы учитель географии, и вам приспичило помучить кого-то из учеников каверзными вопросами.
⏬ На иллюстрации из Вики показано измерение длины побережья Великобритании разными единичными отрезками (Мандельброт в статье 1967 года использовал именно этот пример) и построение кривой Коха. Любите математику.
#Грибоедов
#Архив
#Математика
Весь фокус заключается в том, что компьютер при вычислении промежуточных значений сохраняет в памяти гораздо больше десятичных знаков, чем показывает экран, и, введя эти значения вручную, Лоренц изменил начальные условия. Казалось бы, что решают тысячные доли? Даже с округленными значениями мы совершали одни и те же четко расписанные действия, кривая должна была хотя бы отдаленно напоминать изначальную. Однако в результате получился совершенно новый график. Этот принцип, открытый Лоренцом, называется (как уже многие догадались) «эффектом бабочки», когда даже легкий взмах крыльев бабочки может вызвать ураган.
А ведь все так красиво начиналось… Но в конце концов очень простые и четкие правила внезапно привели к полной непредсказуемости и беспорядку. Возможно, в том, что фракталы и хаос имеют общие корни, есть какая-то философия? Не знаю. Знаю только, что второй заметки мне все равно не хватило, чтобы рассказать подробнее про применение этих принципов в жизни. Так что спасибо всем, кто это дочитал и сохранил ясность мышления. Любите математику :3
⏬ Кроме картинки с изображением фрактала Мандельброта, оставляю в комментах ссылку на сайт (таких, кстати, полно), где можно порефлексировать и рассмотреть все извилины этого удивительного объекта.
P.S. У Рэя Брэдбери есть очень интересный короткий рассказ про эффект бабочки – "И грянул гром".
#Грибоедов
#Математика
#архив
А ведь все так красиво начиналось… Но в конце концов очень простые и четкие правила внезапно привели к полной непредсказуемости и беспорядку. Возможно, в том, что фракталы и хаос имеют общие корни, есть какая-то философия? Не знаю. Знаю только, что второй заметки мне все равно не хватило, чтобы рассказать подробнее про применение этих принципов в жизни. Так что спасибо всем, кто это дочитал и сохранил ясность мышления. Любите математику :3
⏬ Кроме картинки с изображением фрактала Мандельброта, оставляю в комментах ссылку на сайт (таких, кстати, полно), где можно порефлексировать и рассмотреть все извилины этого удивительного объекта.
P.S. У Рэя Брэдбери есть очень интересный короткий рассказ про эффект бабочки – "И грянул гром".
#Грибоедов
#Математика
#архив
Но крестики-нолики – игра очень примитивная, самая длинная партия в ней равна всего девяти ходам, так что построить и просчитать дерево решений для нее можно даже вручную (развлечение для людей с кучей свободного времени).
Вот, например, с шашками дела обстоят интереснее: кроме большого поля у них и правила на порядок сложнее, так что при подсчетах оказывается, что листьев у дерева решений около 5х10^20. Это пять и рядом двадцать нулей. Думаете, это мало? Оно и понятно, у нас мозг просто не способен представить число такого порядка, но для сравнения: чтобы выстроить цепочку от Земли до Марса из бусинок размером с атом потребуется как раз 5,5х10^20 бусинок. Очевидно, что число это офигеть какое большое, и пятидесяти компьютерам не просто так потребовалось почти 20 лет (двадцать лет, Карл!), чтобы полностью рассчитать все возможные исходы шашек и выстроить их дерево решений.
Сие знаменательное событие произошло в 2007 году благодаря команде канадских исследователей во главе с Джонатаном Шеффером, и с этого момента шашки официально вошли в список полностью решенных игр. Если оба соперника не совершают ошибок, то партия всегда заканчивается ничьей. (Тут нужно учесть, что речь идет об английских шашках – чекерс; в них назад бьет только дамка)
Таким образом, человек даже теоретически больше никогда не обыграет компьютер в шашки, так как с первого его хода известны все выигрышные решения, и каждый шаг лишь приближает компьютер к победе. Ничейная смерть шашек была предсказана еще в 50-е, и спустя полвека прогноз подтвердился. Но не стоит грустить: если крестики-нолики имеют короткую беспроигрышную стратегию, то для шашек она гораздо-гораздо сложнее, так что и воспользоваться ей может только компьютер. По сути, 2007 был значим только для математиков. Как многие заметили, после 2007 года шашки не умерли, и в игре между двумя человеческими существами решающее значение все еще имеет опыт, а не вычислительные мощности мозга.
Сейчас на меня наверняка налетят шахматные снобы, утверждающие, что приличные люди вообще не играют в шашки. К сожалению, для шахмат не осталось места, так что оставим их на потом.
P.S. На картинках показаны одна из реализаций выигрышной стратегии в крестики-нолики; первые ветви дерева решений и новость 2007 года о полном расчёте шашек. Играйте в игры, любите математику :3
#Грибоедов
#математика
#архив
Вот, например, с шашками дела обстоят интереснее: кроме большого поля у них и правила на порядок сложнее, так что при подсчетах оказывается, что листьев у дерева решений около 5х10^20. Это пять и рядом двадцать нулей. Думаете, это мало? Оно и понятно, у нас мозг просто не способен представить число такого порядка, но для сравнения: чтобы выстроить цепочку от Земли до Марса из бусинок размером с атом потребуется как раз 5,5х10^20 бусинок. Очевидно, что число это офигеть какое большое, и пятидесяти компьютерам не просто так потребовалось почти 20 лет (двадцать лет, Карл!), чтобы полностью рассчитать все возможные исходы шашек и выстроить их дерево решений.
Сие знаменательное событие произошло в 2007 году благодаря команде канадских исследователей во главе с Джонатаном Шеффером, и с этого момента шашки официально вошли в список полностью решенных игр. Если оба соперника не совершают ошибок, то партия всегда заканчивается ничьей. (Тут нужно учесть, что речь идет об английских шашках – чекерс; в них назад бьет только дамка)
Таким образом, человек даже теоретически больше никогда не обыграет компьютер в шашки, так как с первого его хода известны все выигрышные решения, и каждый шаг лишь приближает компьютер к победе. Ничейная смерть шашек была предсказана еще в 50-е, и спустя полвека прогноз подтвердился. Но не стоит грустить: если крестики-нолики имеют короткую беспроигрышную стратегию, то для шашек она гораздо-гораздо сложнее, так что и воспользоваться ей может только компьютер. По сути, 2007 был значим только для математиков. Как многие заметили, после 2007 года шашки не умерли, и в игре между двумя человеческими существами решающее значение все еще имеет опыт, а не вычислительные мощности мозга.
Сейчас на меня наверняка налетят шахматные снобы, утверждающие, что приличные люди вообще не играют в шашки. К сожалению, для шахмат не осталось места, так что оставим их на потом.
P.S. На картинках показаны одна из реализаций выигрышной стратегии в крестики-нолики; первые ветви дерева решений и новость 2007 года о полном расчёте шашек. Играйте в игры, любите математику :3
#Грибоедов
#математика
#архив